Al inicio de la clase, el profesor comenzó asignándonos una tarea cuya entrega deberá hacerse para Mayo: Debemos determinar cuál de las seis metodologías que trataremos en el aulaaparecen en el artículo publicado en SUMA “El teorema de Pitágoras a partir de la manipulación con geoplanos”, con el cual estamos familiarizados.
A continuación, procedimos a trabajar directamente con geoplanos dibujados en papel,
aplicando la aprendido tras la lectura del mencionado documento y utilizando como unidad de área el cuadrado mínimo. En concreto, realizamos cuatro ejercicios.
1- Debíamos obtener el área de 4 figuras representadas sobre el primer geoplano. Partiendode un triángulo rectángulo, se definían tres cuadrados a partir de cada uno de sus lados.Mediante las técnicas del “marco” o del “puzzle”, obtuvimos la superficie de cada uno de los polígonos, quedando patente la veracidad del teorema de Pitágoras.
2- El segundo ejercicio poseía una estructura similar, pero en este caso no teníamos un triángulo rectángulo, sino obtusángulo. Procediendo de igual manera al apartado anterior confirmábamos que el Teorema de Pitágoras no funcionaba para ángulos no rectángulos.
3- Igual que en el caso anterior, pero partiendo de un triángulo acutángulo y corroborando de nuevo el no cumplimiento del teorema de Pitágoras.
4- Se nos animó a obtener tres cuadrados de lado (3,2), utilizando la nomenclatura
desarrollada en el artículo de SUMA y eligiendo puntos de partida al azar. Una vez obtenidos,razonamos que el área de cada cuadrado era 13, pues las coordenadas nos dan directamente el cuadrado del lado de cada uno sin más que aplicar Pitágoras.
Como inciso, el profesor relacionó el trabajo con áreas de figuras planas con la Mayeútica sofista- a la verdad se llega a través de la dialéctica, lo que demuestra que todo conocimiento está oculto en la mente y hay que “parirlo”- y rememora la escena clásica, imaginada por Platón y puesta en boca de su maestro (corrección de nuestro compañero José Enrique fumando un cigarro al descanso), que a continuación es relatada:
“Sócrates le pide al esclavo de Menón que le diga cuál es el área de un cuadrado cuyos lados miden dos unidades cada uno, a lo que el esclavo responde sin vacilar cuatro. Entonces Sócrates le inquiere cuál sería el área siduplicáramos la longitud de cada lado. El esclavo, sin dudarlo de nuevo, le responde rápidamente que 16, pues entonces el cuadrado mayor estaría conformado por cuatro de los de dos unidades por lado. Muy bien, y si quisiéramos obtener un cuadrado de área 8, ¿cómo le haríamos? Bueno, sería de un tamaño intermedio entre el menor de área cuatro y el mayor de 16. Perfecto, reduzcámosle entonces una unidad por lado al cuadrado mayor. Tendríamos así uno de área 9, tan sólo un poco mayor del que se nos pide, ¿no es cierto? A todo
esto, el esclavo daba seguimiento lúcidamente, asintiendo firmemente y sin la menor sombra de duda. Sin embargo, era claro, incluso para el esclavo, que por este método no llegaríamos al cuadrado requerido, pues al reducir una unidad más por lado llegaríamos al cuadrado original de longitud dos por lado y área cuatro. ¿Cómo proceder entonces?
Aquí es donde interviene Sócrates para probarle a Menón que un individuo con escasa preparación es capaz de entender un problema complejo con tan sólo los atributos de que lo ha provisto la naturaleza. Le dice al esclavo: tomemos el cuadrado mayor, el de área 16, es decir, el conformado por cuatro cuadrados menores de área cuatro cada uno, y elijamos uno de éstos. ¿Qué ocurre si trazamos en su interior una diagonal que lo divida en dos triángulos idénticos? Cada uno tendrá un área de dos, ¿no es verdad?, inquiere Sócrates al esclavo, a lo que éste responde afirmativamente sin mayor sorpresa. Y si hacemos lo mismo con el resto de los cuadrados menores, de tal forma que las diagonales de todos ellos conformen un cuadrado en diagonal en el interior del cuadrado mayor, ¿qué área tendría este nuevo cuadrado? El esclavo responde, con sorpresa y admiración, sin vacilar siquiera, ¡ocho!”
Más tarde, realizamos la lectura en voz alta de una parte del artículo sobre los geoplanos y el teorema de Pitágoras en la que se reflexionaba sobre la labor del profesorado (pág.75),estableciendo ejemplos para “la acción y formulación” relacionados con los geoplanos y la sintaxis de construcción de líneas en ellos. También aclaramos la diferencia entre concepto (los catetos en nuestro ejemplo) y principio (el teorema de Pitágoras y la relación entre sus lados y la hipotenusa). Se expuso aquí la naturaleza del concepto de hipotenusa como hecho, resaltando que en la antigüedad los agrimensores egipcios conseguían ángulos rectos mediante el procedimiento que sigue, en el que indirectamente de usa el teorema de Pitágoras:
“Poseemos una cuerda con 12 nudos hechos a igual distancia uno de otro y partimos de un punto fijo, desde donde la tensamos. Clavamos una estaca en el punto del tercer nudo y volvemos a estirar para de nuevo clavar otra estaca en el séptimo nudo, de tal manera que la tensión sea máxima y se pueda volver al punto de partida con el duodécimo nudo. Una vez hecho esto, se comprueba que hemos obtenido un ángulo recto”.
El siguiente punto de la clase fue, basándose en el texto de Carlos Alonso Zaldívar que nos fue entregado, meditar sobre si es justo o no que el teorema con el que estamos trabajando sea llamado “de Pitágoras”, cuando en China se consiguió un resultado igual al margen de las investigaciones del filósofo griego; del que, por cierto, no hay evidencias de que merezca su autoría y ni siquiera queda claro que haya existido. Al hallazgo chino lo denomina el autor del texto arriba referido teorema de “kou ku”, basándose en el nombre chino asignado a los
¡catetos. Ésta situación la compara Josetxu con el “efecto Qwerty”, jugando con el hecho de que la óptima distribución de letras del teclado en lengua anglosajona haya tenido que ser extrapolada a todos los teclados independientemente de la lengua materna del país receptor de esta tecnología. Se resalta aquí, en relación a lo anterior, cuan intenso es el eurocentrismo y su influencia en campos tan diversos como la cartografía (Abuso de la Proyección Transversal de Mercator para el desarrollo de mapas), el tratamiento de la historia (Euclides nació y vivió en Alejandría, actualmente en Egipto, y siempre es referido como griego) y en todo tipo de currículas.
Dado que con frecuencia aparecen en el texto las siglas DCB, se nos aclara que proceden de“Diseño Curricular Base”, propio de la LOGSE. Se nos advierte que en el blog de la asignatura aparece tanto el currículum de filosofía como el de matemáticas y se nos anima a reflexionar sobre ellos de cara a la próxima tutoría.
Prosigue la clase con la enfatización de los principios que todo profesor debe seguir y que aparecen justo al final del texto de SUMA. Se comentan y de nuevo se recurre a ejemplos relacionados con geoplanos.
Finalmente se recurre a la proyección de un archivo power point y se trabaja directamente ladiapositiva en la que se introducen los “Principios de Procedimiento”. Una vez aquí, se nos pide que ubiquemos en qué parte del artículo está el Marco o Contexto Organizativo.
Como última asignación de cara a la próxima tutoría, el profesor nos asigna la tarea de investigar en libros de matemáticas cómo se trabaja y enseña el teorema de Pitágoras, si aparece alguna mención al razonamiento paralelo chino (“Kou Ku”) y ver cómo se trata la demostración.
A continuación, procedimos a trabajar directamente con geoplanos dibujados en papel,
aplicando la aprendido tras la lectura del mencionado documento y utilizando como unidad de área el cuadrado mínimo. En concreto, realizamos cuatro ejercicios.
1- Debíamos obtener el área de 4 figuras representadas sobre el primer geoplano. Partiendode un triángulo rectángulo, se definían tres cuadrados a partir de cada uno de sus lados.Mediante las técnicas del “marco” o del “puzzle”, obtuvimos la superficie de cada uno de los polígonos, quedando patente la veracidad del teorema de Pitágoras.
2- El segundo ejercicio poseía una estructura similar, pero en este caso no teníamos un triángulo rectángulo, sino obtusángulo. Procediendo de igual manera al apartado anterior confirmábamos que el Teorema de Pitágoras no funcionaba para ángulos no rectángulos.
3- Igual que en el caso anterior, pero partiendo de un triángulo acutángulo y corroborando de nuevo el no cumplimiento del teorema de Pitágoras.
4- Se nos animó a obtener tres cuadrados de lado (3,2), utilizando la nomenclatura
desarrollada en el artículo de SUMA y eligiendo puntos de partida al azar. Una vez obtenidos,razonamos que el área de cada cuadrado era 13, pues las coordenadas nos dan directamente el cuadrado del lado de cada uno sin más que aplicar Pitágoras.
Como inciso, el profesor relacionó el trabajo con áreas de figuras planas con la Mayeútica sofista- a la verdad se llega a través de la dialéctica, lo que demuestra que todo conocimiento está oculto en la mente y hay que “parirlo”- y rememora la escena clásica, imaginada por Platón y puesta en boca de su maestro (corrección de nuestro compañero José Enrique fumando un cigarro al descanso), que a continuación es relatada:
“Sócrates le pide al esclavo de Menón que le diga cuál es el área de un cuadrado cuyos lados miden dos unidades cada uno, a lo que el esclavo responde sin vacilar cuatro. Entonces Sócrates le inquiere cuál sería el área siduplicáramos la longitud de cada lado. El esclavo, sin dudarlo de nuevo, le responde rápidamente que 16, pues entonces el cuadrado mayor estaría conformado por cuatro de los de dos unidades por lado. Muy bien, y si quisiéramos obtener un cuadrado de área 8, ¿cómo le haríamos? Bueno, sería de un tamaño intermedio entre el menor de área cuatro y el mayor de 16. Perfecto, reduzcámosle entonces una unidad por lado al cuadrado mayor. Tendríamos así uno de área 9, tan sólo un poco mayor del que se nos pide, ¿no es cierto? A todo
esto, el esclavo daba seguimiento lúcidamente, asintiendo firmemente y sin la menor sombra de duda. Sin embargo, era claro, incluso para el esclavo, que por este método no llegaríamos al cuadrado requerido, pues al reducir una unidad más por lado llegaríamos al cuadrado original de longitud dos por lado y área cuatro. ¿Cómo proceder entonces?
Aquí es donde interviene Sócrates para probarle a Menón que un individuo con escasa preparación es capaz de entender un problema complejo con tan sólo los atributos de que lo ha provisto la naturaleza. Le dice al esclavo: tomemos el cuadrado mayor, el de área 16, es decir, el conformado por cuatro cuadrados menores de área cuatro cada uno, y elijamos uno de éstos. ¿Qué ocurre si trazamos en su interior una diagonal que lo divida en dos triángulos idénticos? Cada uno tendrá un área de dos, ¿no es verdad?, inquiere Sócrates al esclavo, a lo que éste responde afirmativamente sin mayor sorpresa. Y si hacemos lo mismo con el resto de los cuadrados menores, de tal forma que las diagonales de todos ellos conformen un cuadrado en diagonal en el interior del cuadrado mayor, ¿qué área tendría este nuevo cuadrado? El esclavo responde, con sorpresa y admiración, sin vacilar siquiera, ¡ocho!”
Más tarde, realizamos la lectura en voz alta de una parte del artículo sobre los geoplanos y el teorema de Pitágoras en la que se reflexionaba sobre la labor del profesorado (pág.75),estableciendo ejemplos para “la acción y formulación” relacionados con los geoplanos y la sintaxis de construcción de líneas en ellos. También aclaramos la diferencia entre concepto (los catetos en nuestro ejemplo) y principio (el teorema de Pitágoras y la relación entre sus lados y la hipotenusa). Se expuso aquí la naturaleza del concepto de hipotenusa como hecho, resaltando que en la antigüedad los agrimensores egipcios conseguían ángulos rectos mediante el procedimiento que sigue, en el que indirectamente de usa el teorema de Pitágoras:
“Poseemos una cuerda con 12 nudos hechos a igual distancia uno de otro y partimos de un punto fijo, desde donde la tensamos. Clavamos una estaca en el punto del tercer nudo y volvemos a estirar para de nuevo clavar otra estaca en el séptimo nudo, de tal manera que la tensión sea máxima y se pueda volver al punto de partida con el duodécimo nudo. Una vez hecho esto, se comprueba que hemos obtenido un ángulo recto”.
El siguiente punto de la clase fue, basándose en el texto de Carlos Alonso Zaldívar que nos fue entregado, meditar sobre si es justo o no que el teorema con el que estamos trabajando sea llamado “de Pitágoras”, cuando en China se consiguió un resultado igual al margen de las investigaciones del filósofo griego; del que, por cierto, no hay evidencias de que merezca su autoría y ni siquiera queda claro que haya existido. Al hallazgo chino lo denomina el autor del texto arriba referido teorema de “kou ku”, basándose en el nombre chino asignado a los
¡catetos. Ésta situación la compara Josetxu con el “efecto Qwerty”, jugando con el hecho de que la óptima distribución de letras del teclado en lengua anglosajona haya tenido que ser extrapolada a todos los teclados independientemente de la lengua materna del país receptor de esta tecnología. Se resalta aquí, en relación a lo anterior, cuan intenso es el eurocentrismo y su influencia en campos tan diversos como la cartografía (Abuso de la Proyección Transversal de Mercator para el desarrollo de mapas), el tratamiento de la historia (Euclides nació y vivió en Alejandría, actualmente en Egipto, y siempre es referido como griego) y en todo tipo de currículas.
Dado que con frecuencia aparecen en el texto las siglas DCB, se nos aclara que proceden de“Diseño Curricular Base”, propio de la LOGSE. Se nos advierte que en el blog de la asignatura aparece tanto el currículum de filosofía como el de matemáticas y se nos anima a reflexionar sobre ellos de cara a la próxima tutoría.
Prosigue la clase con la enfatización de los principios que todo profesor debe seguir y que aparecen justo al final del texto de SUMA. Se comentan y de nuevo se recurre a ejemplos relacionados con geoplanos.
Finalmente se recurre a la proyección de un archivo power point y se trabaja directamente ladiapositiva en la que se introducen los “Principios de Procedimiento”. Una vez aquí, se nos pide que ubiquemos en qué parte del artículo está el Marco o Contexto Organizativo.
Como última asignación de cara a la próxima tutoría, el profesor nos asigna la tarea de investigar en libros de matemáticas cómo se trabaja y enseña el teorema de Pitágoras, si aparece alguna mención al razonamiento paralelo chino (“Kou Ku”) y ver cómo se trata la demostración.
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